Digitale Signalverarbeitung

Sampling und Quantisierung

• Analoge Signale werden mittels Sampling in digitale Werte umgewandelt
• Abtastung erfolgt in definierten Zeitintervallen – nur Momentanzustände werden gemessen
• Analoge Signale sind zeitkontinuierlich, da sie keine kleinste zeitliche Auflösung besitzen
• Digitale Samples sind zeitdiskret, da ein festes Abtastintervall existiert

• Analoge Signale können beliebige Spannungswerte annehmen – sie sind wertkontinuierlich
• Bei der Digitalisierung gibt es nur begrenzte Abstufungen (z. B. $\num{-128}$ bis $\num{+127}$) – Samples sind wertdiskret
• Zwischen zwei Spannungsstufen muss der A/D-Umsetzer eine Entscheidung treffen (Quantisierung)

• Ein analoger Dimmer erlaubt feine, stufenlose Helligkeitseinstellungen
• Ein Stufenschalter (z. B. $\num{5}$ Stufen) ermöglicht nur feste Helligkeitswerte – Zwischenstufen sind nicht möglich
• Quantisierung: Auswahl der nächstpassenden Stufe, um den analogen Wert abzubilden

Sampling

• Das digitale Signal besteht aus einzelnen, zeitdiskreten Samples

• Geschwindigkeit, mit der ein A/D-Umsetzer Abtastungen vornimmt
• Definiert als Anzahl der Samples pro Zeiteinheit (z. B. pro Sekunde)
• Einheit: Samples/s (z. B. $44100 \text{Samples\per\second}$ bei CDs, oft als $44,1 k\sps$ angegeben)

Abtasttheorem

• Analoge Signale werden in diskrete Samples umgewandelt
• Sampling: Abtastung eines kontinuierlichen Signals in festgelegten Zeitabständen
• Vergleichbar mit einer Kamera, die in regelmäßigen Intervallen Bilder aufnimmt

• Eine Kamera nimmt z. B. $\num{24}$ Bilder pro Sekunde auf
• Zwischen den Bildern können schnelle Bewegungen auftreten, die nicht erfasst werden
• Wie bei der Kamera kann ein plötzliches Ereignis (z. B. eine Fliege) zwischen zwei Aufnahmen verloren gehen
• Dadurch entsteht ein Verlust an zeitlicher Information

• Zwischen den Samples können schnelle Signaländerungen unentdeckt bleiben
• Für eine fehlerfreie Rekonstruktion muss vor und nach jedem Signalwechsel ein Sample vorliegen
• Ist dies nicht der Fall, gehen Details verloren – Aliasing tritt auf

• Für ein Signal mit maximaler Frequenz $f_{\mathrm{max}}$ muss die Abtastrate $\gt 2 \cdot f_{\mathrm{max}}$ betragen
• Nur so können alle Signalwechsel korrekt erfasst und rekonstruiert werden
• Wird diese Grenze unterschritten, entstehen Alias-Effekte

• CD-Player arbeiten typischerweise mit $44,1 k\sps$ ($\num{44100}$ Samples pro Sekunde)
• Daraus folgt: Frequenzen bis ca. $22 kHz$ können korrekt abgebildet werden
• Dies entspricht dem HiFi-Frequenzbereich guter Stereoanlagen
• Merke: Die Abtastfrequenz sollte stets knapp über dem Doppelten der maximal zu verarbeitenden Frequenz liegen

Quantisierung

• Zeitkontinuierliche Signale werden durch A/D-Umsetzung in digitale Samples überführt
• Bei der Quantisierung werden kontinuierliche analoge Werte in feste Stufen (wertdiskret) abgebildet
• Ein analoges, wertkontinuierliches Signal wird somit in ein gestuftes, wertdiskretes Signal transformiert

Analog-Digital-Umsetzer (ADC)

• Wandelt analoge Eingangssignale in digitale Samples um
• Essentiell für die Digitalisierung und Weiterverarbeitung von Signalen

• Abtasttheorem: Für fehlerfreie Rekonstruktion muss die Abtastrate $\gt 2 \cdot f_{\mathrm{max}}$ betragen
• Signale oberhalb der maximal verarbeitbaren Frequenz können als fehlerhafte Aliases erscheinen
• Antialiasing-Filter (Tiefpass- oder Bandpassfilter) unterdrücken unerwünschte hohe Frequenzen
• Schützen den A/D-Umsetzer vor fehlerhaften Aliasing-Effekten

• Erzeugt den exakten zeitlichen Takt für die Abtastung
• Bestimmt, wie oft pro Sekunde ein Sample erfasst wird
• Kann fest eingestellt oder durch Steuerung (z. B. Mikrocontroller) geregelt werden

• Bei der A/D-Umsetzung werden analoge Amplitudenwerte in feste Stufen abgebildet
• Dies führt zu einer wertdiskreten Darstellung des ursprünglich kontinuierlichen Signals
• Quantisierungsfehler entstehen, da nicht alle Zwischenwerte exakt erfasst werden können

• Anzahl der möglichen digital darstellbaren Stufen
• Wird in Bit angegeben (z. B. $8 \bit = \num{256}$ Stufen, $16 \bit = \num{65536}$ Stufen)
• Häufig wird die Hälfte der Werte für den positiven und die andere Hälfte für den negativen Bereich verwendet

• Jitter beschreibt kleine, zufällige Schwankungen in den Abtastzeitpunkten
• Ein instabiler Abtastratengenerator führt zu zusätzlichen Rauscheffekten im digitalen Signal
• Hoher technischer Aufwand ist nötig, um einen präzisen Takt zu gewährleisten

Digital-Analog-Umsetzer (DAC)

• Der D/A-Umsetzer wandelt einen digitalen Datenstrom (Samples) in ein analoges Signal um
• Genau wie der A/D-Umsetzer hat er eine begrenzte Auflösung (in Bit)
• Dadurch gibt es eine endliche Anzahl an analogen Signalwerten

• Die Anzahl der möglichen Stufen wird durch die Bit-Auflösung bestimmt
• Beispiel: $4 \bit\rightarrow\num{16}$ mögliche Stufen
• Ein D/A-Umsetzer arbeitet in einem festen Spannungsbereich (z. B. $0 V$ bis $1 V$)
• Bei einem linear arbeitenden D/A-Umsetzer verteilt sich der Spannungsbereich gleichmäßig auf die Stufen

• Die Schrittweite berechnet sich aus dem Spannungsbereich geteilt durch die Anzahl der Stufen
• Beispiel: Bei $\num{16}$ Stufen und einem Bereich von $0 V$ bis $1 V$ ergibt sich eine Schrittweite von ca. $6,25 mV$

Anwendung von ADC und DAC

• In SDR-Empfängern und Transceivern wandeln A/D-Umsetzer analoge Eingangssignale in digitale Daten um
• Die digitalen Daten werden verarbeitet und mittels D/A-Umsetzer wieder in analoge Signale umgewandelt

• Wird der volle Wertebereich nicht ausgenutzt, wird das Signal nur auf einen kleineren digitalen Bereich abgebildet
• Überschreitet das Eingangssignal den maximalen Bereich, kann der A/D-/D/A-Umsetzer nur bis zur maximalen Spannung korrekt abbilden
• Überschüssige Werte werden als Maximalwert (Clipping) dargestellt, was zu abgeschnittenen Signalanteilen führt

• Eine höhere Auflösung ermöglicht eine feinere Abbildung der Signalamplituden
• Eine niedrigere Auflösung führt zu einer gestuften, weniger genauen Rekonstruktion des Signals

Anti-Alias-Filter

• Vor dem A/D-Umsetzer wird ein Filter eingesetzt, um Signalanteile höherer Frequenzen zu unterdrücken
• Solche Filter werden als Antialiasingfilter bezeichnet
• Ziel: Vermeidung von Alias-Effekten durch Abschwächung unerwünschter Frequenzen

• Tiefpass- oder Bandpassfilter können eingesetzt werden
• Das Filter muss Signalanteile oberhalb der halben Sampling-Frequenz wirksam dämpfen
• Voraussetzung: Die Abtastfrequenz muss mehr als das Doppelte der zu erfassenden Signalfrequenz betragen

Rekonstruktionsfilter

• Wandelt digitale Samples zurück in analoge Spannungsstufen
• Samples werden in festgelegten zeitlichen Abständen wieder ausgegeben
• Vorgang: Rekonstruktion des ursprünglichen Signals

• Zeitdiskrete Abtastung führt zu einem stufenförmigen Signal
• Unerwünschte höhere Frequenzen (Artefakte) können auftreten
• Einsatz eines Rekonstruktionsfilters (Tiefpass- oder Bandpassfilter)
• Filter unterdrückt alle Signalanteile oberhalb der halben Abtastrate

Fourier-Transformation

• Signale können sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich dargestellt werden
• Im Zeitbereich: X-Achse $\rightarrow$ Zeit, Y-Achse $\rightarrow$ Spannung oder Leistung
• Im Frequenzbereich: X-Achse $\rightarrow$ Frequenz, Y-Achse $\rightarrow$ Amplitude oder Leistung

• Jedes Signal lässt sich als Überlagerung von Sinusschwingungen darstellen
• Jede Sinusschwingung hat eine bestimmte Amplitude und Phase
• Dieses Prinzip ermöglicht es, komplexe Signale in ihre Bestandteile zu zerlegen

• Mathematisch komplexes Verfahren, das ein zeitliches Signal analysiert
• Zeigt an, welche Sinus-Schwingungen (Frequenzen) im Signal enthalten sind
• Das Ergebnis wird als Frequenzspektrum dargestellt (X-Achse: Frequenz, Y-Achse: Amplitude/Leistung)

• Effiziente Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT)
• Reduziert den Rechenaufwand erheblich
• Weit verbreitet in Soft- und Hardware zur Signalverarbeitung

• Rechtecksignale enthalten neben der Grundschwingung auch zahlreiche Oberschwingungen
• Diese Oberschwingungen (ungerade Vielfache der Grundfrequenz) nehmen ab, sind aber deutlich sichtbar
• Ohne Tiefpassfilter würden diese hohen Frequenzanteile stören

Digitale Filter

• Digitale Informationen können nahezu beliebig bearbeitet werden
• Eingangssamples werden mittels mathematischer Funktionen in Ausgangssamples umgerechnet
• Filteroperationen können digital implementiert werden (z. B. Tief-, Band- oder Hochpass)

• "Finite" = Es werden nur eine begrenzte Anzahl von Eingangssamples für jedes Ausgangssample genutzt
• Keine Rückkopplung; Berechnung basiert ausschließlich auf aktuellen und vergangenen Samples

• "Infinite" = Berechnung eines Ausgangssamples bezieht sich auf alle bisherigen Eingangssamples
• Einsatz von Rückkopplung führt zu einem theoretisch unendlichen Impulsverhalten

I/Q-Verfahren

• Digitale Modulationstechnik, die zwei Träger derselben Frequenz verwendet
• Einer der Träger ist um $90 °$ phasenverschoben
• Erzeugt ein Signal, das sich in Amplitude und Phase ändert

• Der digitale Datenstrom wird in zwei Teile aufgeteilt: I und Q
• Zwei D/A-Umsetzer wandeln die digitalen I- und Q-Werte in analoge Signale um
• Diese modulieren die beiden phasenverschobenen Träger, die anschließend kombiniert werden

• Das empfangene Signal wird mit einem $0 °$-Träger gemischt, um das I-Signal zu extrahieren
• Gleichzeitig erfolgt eine Mischung mit einem um $90 °$ phasenverschobenen Träger, um das Q-Signal zu erhalten
• Beide Signale werden A/D-umgesetzt und bilden so den digitalen I/Q-Datenstrom

• Der I/Q-Datenstrom bildet den Frequenzbereich um eine Mittenfrequenz ab
• Beispiel:
• $435 MHz$-Träger
• Abtastrate von $\num{10}$ Mio. Samples/s $\rightarrow$ Bandbreite = $10 MHz$ ($\pm5 MHz$ um die Mittenfrequenz)
• Abgedeckter Bereich: ca. $430 MHz$ bis $440 MHz$

• Die abgedeckte Bandbreite in $Hz$ entspricht der Abtastrate in Samples pro Sekunde

Latenz

• Bei der Signalübertragung und -verarbeitung entstehen Verzögerungen
• Lichtgeschwindigkeit: Zeit, die elektromagnetische Wellen vom Sender zum Empfänger benötigen
• Weitere Verzögerungen durch Zwischenspeicherung (Buffer) und Filter

• Laufzeit zwischen Sender und Empfänger oder zwischen Verarbeitungsstufen
• Latenz wird in Sekunden gemessen
• Typische Werte: wenige Millisekunden bis einige Sekunden
• Analoge Verfahren haben oft geringere Latenzen als digitale, da weniger Zwischenspeicherung erfolgt