Reihen- und Parallelschaltung von Bauelementen

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Widerstandsnetzwerke II

Maschenregel: In jedem geschlossenen Stromkreis (Masche) ist die Summe der Spannungen gleich null. Knotenregel: In jedem Knotenpunkt ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.

  • gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = 10 kΩ$
  • gegeben: $I_3 = I_2 = 1 mA$
  • gesucht: $U$
$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = 10 kΩ + \frac{10 kΩ \cdot 10 kΩ}{10 kΩ + 10 kΩ} = 15 kΩ$
$I = I_2 + I_3 = 1 mA + 1 mA = 2 mA$
$U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I = 15 kΩ \cdot 2 mA = 30 V$
  • gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = 10 kΩ$
  • gegeben: $U=15 V$
  • gesucht: $I_3$
$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = 10 kΩ + \frac{10 kΩ \cdot 10 kΩ}{10 kΩ + 10 kΩ} = 15 kΩ$
$\frac{U_3}{U} = \frac{R_2 \parallel R_3}{R_{\mathrm{ges}}} \Rightarrow U_3 = \frac{R_2 \parallel R_3}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U = \frac{5 kΩ}{15 kΩ} \cdot 15 V = 5 V$
$I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{5 V}{10 kΩ} = 0,5 mA$
  • gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = 10 kΩ$
  • gegeben: $U=15 V$
  • gesucht: $P_2$
$\frac{U_2}{U} = \frac{R_2 \parallel R_3}{R_{\mathrm{ges}}} \Rightarrow U_2 = \frac{R_2 \parallel R_3}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U = \frac{5 kΩ}{15 kΩ} \cdot 15 V = 5 V$
$P_2 = \frac{U_2^2}{R_2} = \frac{(5 V)^2}{10 kΩ} = 2,5 mW$

Lösungsweg

* gegeben: $R = 0-1 kΩ$ * gegeben: $R_1 = 200 Ω$ * gegeben: $R_2 = 100 Ω$ * gegeben: $R_3 = 200 Ω$
$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_2 \cdot (R_3 + R)}{R_2 + (R_3 + R)}$
Bei $R = 0 Ω$: $R_{\mathrm{ges}} = 200 Ω + \frac{100 Ω \cdot (200 Ω + 0 Ω)}{100 Ω + 200 Ω + 0 Ω} \approx 267 Ω$
Bei $R = 1 kΩ$: $R_{\mathrm{ges}} = 200 Ω + \frac{100 Ω \cdot (200 Ω + 1 kΩ)}{100 Ω + 200 Ω +1 kΩ} \approx 292 Ω$
  • gegeben: $R_1 = R_3 = 2,2 kΩ$
  • gegeben: $R_2 = R_4 = 220 Ω$
  • gesucht: $R_{\mathrm{ges}}$
$R_1 || R_3 + R_2 || R_4 = 1100 Ω + 110 Ω = 1210 Ω$

Lösungsweg

  • gegeben: $R_1 = 10 kΩ$
  • gegeben: $R_2 = 2,2 kΩ$
  • gegeben: $R_L = 8,2 kΩ$
  • gegeben: $U_B = 12 V$
  • gesucht: $U_2$
$\frac{U_2}{U_B} = \frac{R_2 \parallel R_L}{R_{\mathrm{ges}}}$ $R_2 \parallel R_L = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2 + R_L} = \frac{2,2 kΩ \cdot 8,2 kΩ}{2,2 kΩ + 8,2 kΩ} = 1,74 kΩ$ $R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 \parallel R_L = 10 kΩ + 1,74 kΩ = 11,74 kΩ$
$U_2 = \frac{R_2 \parallel R_L}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U_B = \frac{1,74 kΩ}{11,74 kΩ} \cdot 12 V \approx 1,8 V$

Spannungsteiler II

  • Gesamtstrom steigt, wenn die Belastung erhöht wird, also wenn $R_{\textrm{L}}$ niederohmiger wird
  • Voraussetzung: Strom der Versorgung bricht nicht ein
  • Bei der Dimensionierung auf die Stromstärken durch die Widerstände achten

Im belasteten Spannungsteiler fließen 3 Ströme:

  • $I_1$ fließt durch $R_1$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_1 = U_1 \cdot I_1 = I_2 \cdot R_1$
  • $I_2$ fließt durch $R_2$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_2 = U_2 \cdot I_2 = {I_2}^2 \cdot R_2$
  • $I_L$ fließt durch $R_L$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_L = U_2 \cdot I_L = {I_L}^2 \cdot R_L$
  • Der Strom $I_1$ ist die Summe von $I_2$ und $I_L$ und damit der größte Strom.

Brückenschaltung

Dieser Alt-Text wurde noch nicht überprüft. <p>Ein Schaltplan zeigt vier Widerstände, die mit R1, R2, R3 und R4 beschriftet sind. Diese sind in einem rechteckigen Muster angeordnet. Eine Quelle, gekennzeichnet mit einem "G", befindet sich links. In der Mitte ist ein Messgerät mit einem Zeiger dargestellt. Es gibt zwei Punkte, die als A und B markiert sind, und sie befinden sich auf einer horizontalen Linie, die das Messgerät verbindet."> <figcaption>Abbildung A-4.3.1: Typische Brückenschaltung mit 4 Widerständen</figcaption></p> </figure> <p>$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ </left></p> <div class= * Schaltung aus 4 Widerständen zur Widerstandsmessung * Zwei parallel geschaltete Spannungsteiler * Bei gleich großen Spannungsteilerverhältnissen fließt kein Strom über die Brücke

Lösungsweg

$\frac{U_A}{U} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \Rightarrow U_A = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot U = \frac{1 kΩ}{1 kΩ + 10 kΩ} \cdot 11 V = 1 V$
$\frac{U_B}{U} = \frac{R_3}{R_3 + R_4} \Rightarrow U_B = \frac{R_3}{R_3 + R_4} \cdot U = \frac{10 kΩ}{10 kΩ + 1 kΩ} \cdot 11 V = 10 V$
$U_{AB} = U_B - U_A = 10 V - 1 V = 9 V$

Spule in Reihenschaltung

Dieser Alt-Text wurde noch nicht überprüft. <p>Zusammenfassung: Nahaufnahme des Innenraums eines elektronischen Geräts mit einer dicht gewickelten roten Zylinderspule und zahlreichen Drahtabgriffen, die zu einem mehrstufigen Drehschalter im Metallchassis führen.</p> <p>Detaillierte Beschreibung: Im unteren Bildbereich liegt horizontal eine rote, zylindrische Spule, eng mit dunkelrotem Kupferdraht bewickelt. Entlang der oberen Spulenseite sind viele Abgriffe sichtbar: dünne, bräunliche lackierte Drähte, die an einzelnen Windungen angelötet sind; an den Lötstellen sitzen silbrig glänzende Lottropfen, teils mit dunklen Verfärbungen an der Umgebung. Die Abgriffe verlaufen bogenförmig nach oben und vorne zu einem gestapelten, kreisförmigen Drehschalter mit mehreren Isolatorscheiben und radial angeordneten Lötfahnen. In der Schaltermitte sitzt eine Metallwelle mit Federn und kleinen mechanischen Teilen. Links und rechts erkennt man das graue Metallchassis mit Schrauben, Federn und Halterungen; einzelne weiße und graue Leitungen führen in den Aufbau. Der Hintergrund ist überwiegend grau-metallisch, unter der Spule ist ein heller, weißer Untergrund zu sehen. Der Gesamteindruck ist technisch, gebraucht und funktional, mit leicht unordentlich geführten Drähten."> <figcaption>Abbildung A-4.4.1: Spule mit 14 Anzapfungen in einem selbstgebauten Antennenanpassgerät</figcaption></p> </figure> <p>$L_{\mathrm{ges}} = L_1 + L_2 + L_3 + \dots$ </left></p> <div class= * Bei einer Spule in Reihenschaltung addieren sich die Induktivitäten * Mehrere Spulen hintereinander $\rightarrow$ Wicklung wird verlängert

$L_{\mathrm{ges}} = 2200 n\henry + 0,033 m\henry + 150 µ\henry = 185,2 µ\henry$

Reihen- und Parallelschaltung gemischter Bauelemente

$\begin{split} \tfrac{1}{C_{\mathrm{ges}}} &= \tfrac{1}{C_1} + \tfrac{1}{C_2} + \tfrac{1}{C_3} = \tfrac{1}{0,10 nF} + \tfrac{1}{47 pF} + \tfrac{1}{22 pF}\\ &= 7,67e10 F^{-1}\\ \Rightarrow C_{\mathrm{ges}} &= \frac{1}{7,67e10 F^{-1}} \approx 13,0 pF \end{split}$
$\begin{split} C_{\mathrm{ges}} &= C_1 + C_2 + C_3 + C_L\\ &= 0,1 nF + 1,5 nF + 220 pF + 1 pF\\ &= 1821 pF \end{split}$
$\begin{split} X_L &= \omega \cdot L = 2\pi \cdot f \cdot L\\ &= 2\pi \cdot 1 MHz \cdot 100 µ\henry = 628 Ω\end{split}$
$Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(100 Ω)^2 + (628 Ω)^2} \approx 636 Ω$
$\begin{split} X_C &= \frac{1}{\omega \cdot C} = \frac{1}{2\pi \cdot f \cdot C}\\ &= \frac{1}{2\pi \cdot 1 MHz \cdot 100 nF} = 159 Ω\end{split}$
$Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(100 Ω)^2 + (159 Ω)^2} \approx 188 Ω$

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