Digitale Signalverarbeitung

Digitale Signalverarbeitung

• SDR steht dabei für Software Defined Radio.
• In diesen Geräten ist zumindest ein Teil der Signalverarbeitung in Software realisiert.
• Dieses hat einen Kostenvorteil und bringt eine große Flexibilität mit sich.

• Damit die Daten digital verarbeitet werden können, müssen sie zunächst digitalisiert werden.
• Dazu wird das analoge Signal mittels eines Analog-Digital Umsetzers (A/D-Umsetzer) in digitale Werte umgesetzt.

• Hierbei wird das analoge Signal in festen Zeitintervallen abgetastet und in einem digitalen Wertebereich (z.B. von $\num{-128}$ bis $\num{+127}$) abgebildet.
• Die einzelnen gemessenen Signalwerte werden als Samples (Proben) bezeichnet.

Ausführliche Beschreibung: Ein Koordinatensystem hat eine horizontale Achse mit der Beschriftung „Zeit“ und eine vertikale Achse mit der Beschriftung „Wert“. Über das Koordinatensystem verteilt ist ein Gitternetz aus kleinen Quadraten eingezeichnet. An den Schnittpunkten einiger Quadrate gibt es kleine Kreise, die eine sinusförmige Kurve oberhalb und unterhalb der Nulllinie bilden.">

• Nach der digitalen Verarbeitung des Signals wird es in einem Digital-Analog-Umsetzer (D/A-Umsetzer) wieder in ein analoges Signal verwandelt.

Sampling und Quantisierung

• Analoge Signale werden mittels Sampling in digitale Werte umgewandelt
• Abtastung erfolgt in definierten Zeitintervallen – nur Momentanzustände werden gemessen
• Analoge Signale sind zeitkontinuierlich, da sie keine kleinste zeitliche Auflösung besitzen
• Digitale Samples sind zeitdiskret, da ein festes Abtastintervall existiert

• Analoge Signale können beliebige Spannungswerte annehmen – sie sind wertkontinuierlich
• Bei der Digitalisierung gibt es nur begrenzte Abstufungen (z. B. $\num{-128}$ bis $\num{+127}$) – Samples sind wertdiskret
• Zwischen zwei Spannungsstufen muss der A/D-Umsetzer eine Entscheidung treffen (Quantisierung)

• Ein analoger Dimmer erlaubt feine, stufenlose Helligkeitseinstellungen
• Ein Stufenschalter (z. B. $\num{5}$ Stufen) ermöglicht nur feste Helligkeitswerte – Zwischenstufen sind nicht möglich
• Quantisierung: Auswahl der nächstpassenden Stufe, um den analogen Wert abzubilden

Sampling

• Das digitale Signal besteht aus einzelnen, zeitdiskreten Samples

• Geschwindigkeit, mit der ein A/D-Umsetzer Abtastungen vornimmt
• Definiert als Anzahl der Samples pro Zeiteinheit (z. B. pro Sekunde)
• Einheit: Samples/s (z. B. $44100 \text{Samples\per\second}$ bei CDs, oft als $44,1 k\sps$ angegeben)

Abtasttheorem

• Analoge Signale werden in diskrete Samples umgewandelt
• Sampling: Abtastung eines kontinuierlichen Signals in festgelegten Zeitabständen
• Vergleichbar mit einer Kamera, die in regelmäßigen Intervallen Bilder aufnimmt

• Eine Kamera nimmt z. B. $\num{24}$ Bilder pro Sekunde auf
• Zwischen den Bildern können schnelle Bewegungen auftreten, die nicht erfasst werden
• Wie bei der Kamera kann ein plötzliches Ereignis (z. B. eine Fliege) zwischen zwei Aufnahmen verloren gehen
• Dadurch entsteht ein Verlust an zeitlicher Information

• Zwischen den Samples können schnelle Signaländerungen unentdeckt bleiben
• Für eine fehlerfreie Rekonstruktion muss vor und nach jedem Signalwechsel ein Sample vorliegen
• Ist dies nicht der Fall, gehen Details verloren – Aliasing tritt auf

• Für ein Signal mit maximaler Frequenz $f_{\mathrm{max}}$ muss die Abtastrate $\gt 2 \cdot f_{\mathrm{max}}$ betragen
• Nur so können alle Signalwechsel korrekt erfasst und rekonstruiert werden
• Wird diese Grenze unterschritten, entstehen Alias-Effekte

• CD-Player arbeiten typischerweise mit $44,1 k\sps$ ($\num{44100}$ Samples pro Sekunde)
• Daraus folgt: Frequenzen bis ca. $22 kHz$ können korrekt abgebildet werden
• Dies entspricht dem HiFi-Frequenzbereich guter Stereoanlagen
• Merke: Die Abtastfrequenz sollte stets knapp über dem Doppelten der maximal zu verarbeitenden Frequenz liegen

Quantisierung

• Zeitkontinuierliche Signale werden durch A/D-Umsetzung in digitale Samples überführt
• Bei der Quantisierung werden kontinuierliche analoge Werte in feste Stufen (wertdiskret) abgebildet
• Ein analoges, wertkontinuierliches Signal wird somit in ein gestuftes, wertdiskretes Signal transformiert

Analog-Digital-Umsetzer (ADC)

• Wandelt analoge Eingangssignale in digitale Samples um
• Essentiell für die Digitalisierung und Weiterverarbeitung von Signalen

• Abtasttheorem: Für fehlerfreie Rekonstruktion muss die Abtastrate $\gt 2 \cdot f_{\mathrm{max}}$ betragen
• Signale oberhalb der maximal verarbeitbaren Frequenz können als fehlerhafte Aliases erscheinen
• Antialiasing-Filter (Tiefpass- oder Bandpassfilter) unterdrücken unerwünschte hohe Frequenzen
• Schützen den A/D-Umsetzer vor fehlerhaften Aliasing-Effekten

• Erzeugt den exakten zeitlichen Takt für die Abtastung
• Bestimmt, wie oft pro Sekunde ein Sample erfasst wird
• Kann fest eingestellt oder durch Steuerung (z. B. Mikrocontroller) geregelt werden

• Bei der A/D-Umsetzung werden analoge Amplitudenwerte in feste Stufen abgebildet
• Dies führt zu einer wertdiskreten Darstellung des ursprünglich kontinuierlichen Signals
• Quantisierungsfehler entstehen, da nicht alle Zwischenwerte exakt erfasst werden können

• Anzahl der möglichen digital darstellbaren Stufen
• Wird in Bit angegeben (z. B. $8 \bit = \num{256}$ Stufen, $16 \bit = \num{65536}$ Stufen)
• Häufig wird die Hälfte der Werte für den positiven und die andere Hälfte für den negativen Bereich verwendet

• Jitter beschreibt kleine, zufällige Schwankungen in den Abtastzeitpunkten
• Ein instabiler Abtastratengenerator führt zu zusätzlichen Rauscheffekten im digitalen Signal
• Hoher technischer Aufwand ist nötig, um einen präzisen Takt zu gewährleisten

Digital-Analog-Umsetzer (DAC)

• Der D/A-Umsetzer wandelt einen digitalen Datenstrom (Samples) in ein analoges Signal um
• Genau wie der A/D-Umsetzer hat er eine begrenzte Auflösung (in Bit)
• Dadurch gibt es eine endliche Anzahl an analogen Signalwerten

• Die Anzahl der möglichen Stufen wird durch die Bit-Auflösung bestimmt
• Beispiel: $4 \bit\rightarrow\num{16}$ mögliche Stufen
• Ein D/A-Umsetzer arbeitet in einem festen Spannungsbereich (z. B. $0 V$ bis $1 V$)
• Bei einem linear arbeitenden D/A-Umsetzer verteilt sich der Spannungsbereich gleichmäßig auf die Stufen

• Die Schrittweite berechnet sich aus dem Spannungsbereich geteilt durch die Anzahl der Stufen
• Beispiel: Bei $\num{16}$ Stufen und einem Bereich von $0 V$ bis $1 V$ ergibt sich eine Schrittweite von ca. $6,25 mV$

Anwendung von ADC und DAC

• In SDR-Empfängern und Transceivern wandeln A/D-Umsetzer analoge Eingangssignale in digitale Daten um
• Die digitalen Daten werden verarbeitet und mittels D/A-Umsetzer wieder in analoge Signale umgewandelt

• Wird der volle Wertebereich nicht ausgenutzt, wird das Signal nur auf einen kleineren digitalen Bereich abgebildet
• Überschreitet das Eingangssignal den maximalen Bereich, kann der A/D-/D/A-Umsetzer nur bis zur maximalen Spannung korrekt abbilden
• Überschüssige Werte werden als Maximalwert (Clipping) dargestellt, was zu abgeschnittenen Signalanteilen führt

• Eine höhere Auflösung ermöglicht eine feinere Abbildung der Signalamplituden
• Eine niedrigere Auflösung führt zu einer gestuften, weniger genauen Rekonstruktion des Signals

Anti-Alias-Filter

• Vor dem A/D-Umsetzer wird ein Filter eingesetzt, um Signalanteile höherer Frequenzen zu unterdrücken
• Solche Filter werden als Antialiasingfilter bezeichnet
• Ziel: Vermeidung von Alias-Effekten durch Abschwächung unerwünschter Frequenzen

• Tiefpass- oder Bandpassfilter können eingesetzt werden
• Das Filter muss Signalanteile oberhalb der halben Sampling-Frequenz wirksam dämpfen
• Voraussetzung: Die Abtastfrequenz muss mehr als das Doppelte der zu erfassenden Signalfrequenz betragen

Rekonstruktionsfilter

• Wandelt digitale Samples zurück in analoge Spannungsstufen
• Samples werden in festgelegten zeitlichen Abständen wieder ausgegeben
• Vorgang: Rekonstruktion des ursprünglichen Signals

• Zeitdiskrete Abtastung führt zu einem stufenförmigen Signal
• Unerwünschte höhere Frequenzen (Artefakte) können auftreten
• Einsatz eines Rekonstruktionsfilters (Tiefpass- oder Bandpassfilter)
• Filter unterdrückt alle Signalanteile oberhalb der halben Abtastrate

Fourier-Transformation

• Signale können sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich dargestellt werden
• Im Zeitbereich: X-Achse $\rightarrow$ Zeit, Y-Achse $\rightarrow$ Spannung oder Leistung
• Im Frequenzbereich: X-Achse $\rightarrow$ Frequenz, Y-Achse $\rightarrow$ Amplitude oder Leistung

• Jedes Signal lässt sich als Überlagerung von Sinusschwingungen darstellen
• Jede Sinusschwingung hat eine bestimmte Amplitude und Phase
• Dieses Prinzip ermöglicht es, komplexe Signale in ihre Bestandteile zu zerlegen

• Mathematisch komplexes Verfahren, das ein zeitliches Signal analysiert
• Zeigt an, welche Sinus-Schwingungen (Frequenzen) im Signal enthalten sind
• Das Ergebnis wird als Frequenzspektrum dargestellt (X-Achse: Frequenz, Y-Achse: Amplitude/Leistung)

• Effiziente Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT)
• Reduziert den Rechenaufwand erheblich
• Weit verbreitet in Soft- und Hardware zur Signalverarbeitung

• Rechtecksignale enthalten neben der Grundschwingung auch zahlreiche Oberschwingungen
• Diese Oberschwingungen (ungerade Vielfache der Grundfrequenz) nehmen ab, sind aber deutlich sichtbar
• Ohne Tiefpassfilter würden diese hohen Frequenzanteile stören

Digitale Filter

• Digitale Informationen können nahezu beliebig bearbeitet werden
• Eingangssamples werden mittels mathematischer Funktionen in Ausgangssamples umgerechnet
• Filteroperationen können digital implementiert werden (z. B. Tief-, Band- oder Hochpass)

• "Finite" = Es werden nur eine begrenzte Anzahl von Eingangssamples für jedes Ausgangssample genutzt
• Keine Rückkopplung; Berechnung basiert ausschließlich auf aktuellen und vergangenen Samples

• "Infinite" = Berechnung eines Ausgangssamples bezieht sich auf alle bisherigen Eingangssamples
• Einsatz von Rückkopplung führt zu einem theoretisch unendlichen Impulsverhalten

I/Q-Verfahren

• Digitale Modulationstechnik, die zwei Träger derselben Frequenz verwendet
• Einer der Träger ist um $90 °$ phasenverschoben
• Erzeugt ein Signal, das sich in Amplitude und Phase ändert

• Der digitale Datenstrom wird in zwei Teile aufgeteilt: I und Q
• Zwei D/A-Umsetzer wandeln die digitalen I- und Q-Werte in analoge Signale um
• Diese modulieren die beiden phasenverschobenen Träger, die anschließend kombiniert werden

• Das empfangene Signal wird mit einem $0 °$-Träger gemischt, um das I-Signal zu extrahieren
• Gleichzeitig erfolgt eine Mischung mit einem um $90 °$ phasenverschobenen Träger, um das Q-Signal zu erhalten
• Beide Signale werden A/D-umgesetzt und bilden so den digitalen I/Q-Datenstrom

• Der I/Q-Datenstrom bildet den Frequenzbereich um eine Mittenfrequenz ab
• Beispiel:
• $435 MHz$-Träger
• Abtastrate von $\num{10}$ Mio. Samples/s $\rightarrow$ Bandbreite = $10 MHz$ ($\pm5 MHz$ um die Mittenfrequenz)
• Abgedeckter Bereich: ca. $430 MHz$ bis $440 MHz$

• Die abgedeckte Bandbreite in $Hz$ entspricht der Abtastrate in Samples pro Sekunde

Latenz

• Bei der Signalübertragung und -verarbeitung entstehen Verzögerungen
• Lichtgeschwindigkeit: Zeit, die elektromagnetische Wellen vom Sender zum Empfänger benötigen
• Weitere Verzögerungen durch Zwischenspeicherung (Buffer) und Filter

• Laufzeit zwischen Sender und Empfänger oder zwischen Verarbeitungsstufen
• Latenz wird in Sekunden gemessen
• Typische Werte: wenige Millisekunden bis einige Sekunden
• Analoge Verfahren haben oft geringere Latenzen als digitale, da weniger Zwischenspeicherung erfolgt