Strom, Spannung, Widerstand, Leistung, Energie
Aufbaukurs N -> A
Physikalische Stromrichtung
- Technische Stromrichtung vom Plus-Pol zum Minus-Pol
- In der Wissenschaft hat sich später erst herausgestellt, dass sich in Metallen die negativ geladenen Teilchen (Elektronen) bewegen
- Elektronen werden vom Minus-Pol der Spannungsquelle abgestoßen und vom Plus-Pol angezogen
- Die Physikalische Stromrichtung ist entgegen gesetzt zur technischen Stromrichtung
- Elektronen bewegen sich nicht mit der Geschwindigkeit des Stroms, denn dieser erfolgt durch das elektrische Feld im Leiter
- In leitfähigen Flüssigkeiten können sich auch die Ionen bewegen; dann stimmen technische und physikalische Stromrichtung überein
Strom- und Spannungsmessung II
- Der Strom wird im Stromkreis eingeschleift gemessen
- Die Spannung wird über den Widerstand gemessen
- Der Widerstand im Voltmeter soll hochohmig sein $\rightarrow$ Strom nimmt den Weg des geringsten Widerstandes
Strom- und Spannungsmessung III
$\begin{split} P_{\textrm{Abw}} &= 100\% - (U_{\mathrm{Abw}} \cdot I_{\mathrm{Abw}})\\ &= 100\% - (95\% \cdot 95\%)\\ &= 100\% - 90,25\%\\ &= 9,75\% \end{split}$
- Auch bei einer Spannungsmessung fließt ein Strom durch ein Messgerät
- Es findet eine Stromteilung statt
- Durch den hohen Innenwiderstand ist der abfließende Strom verhältnismäßig klein
- gegeben: $U = 0,5 V$
- gegeben: $R = 10 MΩ$
- gesucht: $I$
$$I = \frac{U}{R} = \frac{0,5 V}{10 MΩ} = 50 nA$$
Zeigerinstrumente ablesen
- Richtige Auswahl der zu messenden Größe mit dem Schalter wählen
- Richtige Skala anhand des Messbereichs wählen
- Ggf. muss um einen Faktor 10 oder 100 multipliziert oder dividiert werden
- Vorteil: Es ist intuitiv und man sieht kontinuierliche Änderungen
* Parallaxenfehler vermeiden, indem gerade drauf geschaut wird
* Viele Zeigerinstrumente haben einen Spiegel hinter dem Zeiger
* Wenn der Zeiger sich im Spiegelbild überdeckt, wird gerade drauf geschaut
* Parallaxe ist, wenn an einem Objekt vorbei geschaut wird
Spitzen- und Effektivwert
$\hat{U} = U_{eff}\cdot \sqrt{2}$
$\hat{U} = U_{eff}\cdot \sqrt{2}$ $U_{eff} = \dfrac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$ $U_{eff} = \dfrac{1 V}{1,41} \approx 0,7 V$
$\hat{U} = U_{eff}\cdot \sqrt{2}$ $U_{eff} = \dfrac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$ $U_{eff} = \dfrac{12 V}{1,41} \approx 8,5 V$
$\hat{U} = U_{eff}\cdot \sqrt{2}$ $\hat{U} = 12 V\cdot 1,41 \approx 17 V$
$U_{SS} = 2\cdot \hat{U}$ $U_{SS} = 2\cdot 17 V = 34 V$
$\hat{U} = U_{eff}\cdot \sqrt{2}$ $\hat{U} = 230 V\cdot 1,41 \approx 325 V$
Oszilloskop I
- Formelzeichen T, Einheit Sekunde (s)
$T = \dfrac{1}{f} \Rightarrow f = \dfrac{1}{T}$
$f = \dfrac{1}{T}$
Erst Periodendauer ermitteln, dann Frequenz ausrechnen
Eine Periode ist 4 Kästchen lang $T = 4 \cdot 5 ms = 20 ms$ $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{20e-3 s} = $ $0,05 \cdot \frac{1}{\qty{10^{-3}}{\second}} = 0,05 \cdot 10^3 Hz = 0,05 kHz = 50 Hz$
Eine Periode ist 4 Kästchen lang $T = 4 \cdot 3 µs = 12 µs$ $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{12e-6 s} = $ $0,0833 \cdot \frac{1}{\qty{10^{-6}}{\second}} = 0,0833 \cdot 10^6 Hz = 0,0833 MHz = 83,3 kHz$
Oszilloskop II
* Zeigt den zeitlichen Verlauf von Spannungen dar
* Misst die Signalform
Definition: Die Pulsbreite liegt bei 50% des Spitzenwerts
* Trigger wertet das anliegende Signal aus
* Z.B. die Spannung 0 von negativ nach positiv durchlaufen
* Dadurch kann bei einer Welle ein stehendes Bild gezeigt werden
* Zur Messung der Spannung
* Spitze als Haken oder Nadel gebaut
* Bezugsmasse meistens über eine separate Krokodilklemme
* 10:1-Tastköpfe teilen die Spannung auf ein Zehntel
$\begin{split} P_{\textrm{PEP}} &= \frac{U_{\textrm{eff}}^2}{R} = \frac{\left(\frac{100 V}{\sqrt{2}}\right)^2}{50 Ω}\\ &=\frac{\frac{(100 V)^2}{2}}{50 Ω} = \frac{5000 V^2}{50 Ω} = 100 W \end{split}$
- gegeben: $R=50 Ω$
- gegeben: (aus Darstellung mit 10:1-Tastkopf) $\hat{U} = 6 V\cdot 10$
- gesucht: $P_{\textrm{PEP}}$
$\begin{split} P_{\textrm{PEP}} &= \frac{U_{\textrm{eff}}^2}{R} = \frac{\left(\frac{6 V\cdot 10}{\sqrt{2}}\right)^2}{50 Ω}\\ &=\frac{\frac{(60 V)^2}{2}}{50 Ω} = 36 W \end{split}$
SMD-Widerstände
- SMD: Surface Mounted Device
- Widerstand in sehr kleiner Bauform
- Letzte Stelle des aufgedruckten Widerstandswerts gibt die Zehnerpotenz an
Leiterwiderstand
Lösungsweg
- gegeben: $l = 1,8 m$
- gegeben: $d = 0,2 mm$
- gegeben: $\rho = 0,018 Ω\cdotmm\squared/m$
- gesucht: $R$
$$A_{\textrm{Dr}} = \frac{d^2\cdot \pi}{4} = \frac{(0,2 mm)^2 \cdot \pi}{4} = \frac{\pi}{100}mm\squared = 0,0314 mm\squared$$
$$R = \frac{\rho\cdot l}{A_{\textrm{Dr}}} = \frac{0,018 Ω\cdotmm\squared/m \cdot 1,8 m}{0,0314 mm\squared} \approx 1,02 Ω$$
- gegeben: $A_{\textrm{Dr}} = 0,5 mm\squared$
- gegeben: $R = 1,5 Ω$
- gegeben: $\rho = 0,018 Ω\cdotmm\squared/m$
- gesucht: $l$
$\begin{split} R &= \frac{\rho\cdot l}{A_{\textrm{Dr}}}\\ \Rightarrow l &= \frac{R\cdot A_{\textrm{Dr}}}{\rho} = \frac{1,5 Ω \cdot 0,5 mm\squared}{0,018 Ω\cdotmm\squared/m} \approx 41,7 m \end{split}$
- Widerstand von Metallen steigt bei zunehmender Temperatur
- Atome bewegen sich bei höherer Temperatur mehr, wodurch es zu mehr Kollisionen mit Elektronen kommt
Widerstandsmaterialien
- Draht aus einem Leiter mit gutem konstanten Widerstand trotz ändernder Temperatur
- Dadurch ist eine hohe Last möglich
- Oftmals gewickelt für mehr Länge
- Dadurch nur für niedrige Frequenzen geeignet
- Widerstandsmaterial als dünne Schicht auf einem Träger
- Hohe Widerstandswerte möglich
- Sehr präzise
- Geringe Temperaturabhängigkeit
- Ähnlich wie Metallschichtwiderstand
- Induktionsarm
- Für hohe Frequenzen geeignet
Widerstandstoleranzen
- Korrektur nach unten und oben vom angegebenen Widerstandswert
Heißleiter und Kaltleiter
Leistung beim Wechselstrom
Berechnung mit Effektivwerten
$U_{\mathrm{eff}} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}} = \frac{U_\mathrm{SS}}{2\sqrt{2}}$
$I_{\mathrm{eff}} = \frac{\hat{I}}{\sqrt{2}} = \frac{I_\mathrm{SS}}{2\sqrt{2}}$
$P = U_{\mathrm{eff}} \cdot I_{\mathrm{eff}}$
- gegeben: $I_{\mathrm{max}} = \hat{I} = 0,5 A$
- gegeben: $R = 20 Ω$
- gesucht: $P$
$\begin{split} P &= I^2 \cdot R = \left(\frac{I_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot R\\ &= \frac{(0,5 A)^2}{2} \cdot 20 Ω \\ &= \frac{1}{8}A\squared \cdot 20 Ω = 2,5 W \end{split}$
- Messgerät, bei dem die abgestrahlte Wärme an einem Widerstand gemessen wird
- Aus der abgestrahlten Wärme wird mit einem Thermoelement eine Gleichspannung erzeugt, die gemessen werden kann
- Wird dann eingesetzt, wenn eine elektrische Messung nicht möglich ist, z.B. bei nicht-periodischen Signalen
- Es wird der Effektivwert der Stromstärke gemessen
Leistung II
Wir kennen bereits
$P = U\cdot I = \dfrac{U^2}{R} = I^2\cdot R$
- Bei Wechselspannungen muss mit dem Effektivwert gerechnet werden
Dezibel I
Dezibel einfach erklärt
| Was | Leistung in $mW$ |
|---|---|
| effektive Leistung EME-Station | 100 000 000 |
| Standard Transceiver | 100 000 |
| Kleine Handfunke | 1 000 |
| Lautsprechersignal (Zimmerlautstärke) | 100 |
| Kopfhörersignal | 1 |
| Lautes KW-Signal | 0,000 001 |
| Leises KW-Signal (Antenneneingang RX) | 0,000 000 000 001 |
Wer mit diesen Zahlen umgeht, fängt automatisch an, die Nullen zu zählen.
Wir zählen die Nullen (und nennen das Ergebnis "Bel")
| Was | Leistung in $mW$ | Bel |
|---|---|---|
| effektive Leistung EME-Station | 100 000 000 | 8 |
| Standard Transceiver | 100 000 | 5 |
| Kleine Handfunke | 1 000 | 3 |
| Lautsprechersignal (Zimmerlautstärke) | 100 | 2 |
| Kopfhörersignal | 1 | 0 |
| Lautes KW-Signal | 0,000 001 | -6 |
| Leises KW-Signal (Antenneneingang RX) | 0,000 000 000 001 | -12 |
$dBm$ = Dezibel bezogen auf $mW$
| Was | Leistung in $mW$ | Bel | $dBm$ |
|---|---|---|---|
| effektive Leistung EME-Station | 100 000 000 | 8 | 80 |
| Standard Transceiver | 100 000 | 5 | 50 |
| Kleine Handfunke | 1 000 | 3 | 30 |
| Lautsprechersignal (Zimmerlautstärke) | 100 | 2 | 20 |
| Kopfhörersignal | 1 | 0 | 0 |
| Lautes KW-Signal | 0,000 001 | -6 | -60 |
| Leises KW-Signal (Antenneneingang RX) | 0,000 000 000 001 | -12 | -120 |
Empfänger
- Eingangssignal: $0,000000000001 mW$
- Ausgangssignal: $100 mW$
- Benötigte Verstärkung: $\num{100000000000000}$
Sender
- Frequenzerzeugende Stufe (Oszillator): $10 mW$
- Ausgangssignal: $100000 mW$
- Benötigte Verstärkung: $\num{10000}$
Empfänger
- Eingangssignal: $0,000000000001 mW = -120 dBm$
- Ausgangssignal: $100 mW = 20 dBm$
- Benötigte Verstärkung: $\num{100000000000000} = 140 dB$
Sender
- Frequenzerzeugende Stufe (Oszillator): $10 mW = 10 dBm$
- Ausgangssignal: $100000 mW = 50 dBm$
- Benötigte Verstärkung: $\num{10000} = 40 dB$
Wichtige Leistungsfaktoren
| $dB$ | ≈ Leistungsfaktor |
|---|---|
| $0$ | $1$ |
| $1,5$ | $\sqrt{2} = 1,41$ |
| $2,15$ | $1,64$ |
| $3$ | $2$ |
| $5$ | $\sqrt{10} = 3,16$ |
| $6$ | $4$ |
| $10$ | $10$ |
| $20$ | $100$ |
Ältere Modelle
- Faktor-Wert $\rightarrow$ log-Taste $\rightarrow\times 10 \rightarrowdB$
- $dB$-Wert $\rightarrow\div 10 \rightarrow$ $10^x$-Taste $\rightarrow$ Faktor
Neuere Modelle
- log-Taste $\rightarrow$ Faktor-Wert $\rightarrow$ )-Taste $\rightarrow\times 10 \rightarrow$ =-Taste $\rightarrowdB$
- $10^x$-Taste $\rightarrow$ $dB$-Wert $\rightarrow \div 10 \rightarrow$ =-Taste $\rightarrow$ Faktor
Dezibel II
- Logarithmische Angabe von Verhältnissen, insbesondere bei Leistungen
- Macht das Arbeiten mit kleinen und großen Leistungen einfacher
- Verstärkungen und Dämpfungen lassen sich einfacher berechnen
$\rightarrow0 dBm$ liegt bei $P = 1 mW$ vor
*Leistung bezogen auf $1 W$*
$p = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P}{1 W}\right)dBW$
$\rightarrow0 dBW$ liegt bei $P = 1 W$ vor
Spannungspegel
Faktor $20$
$u = 20\cdot \log_{10}\left(\frac{U}{0,775 V}\right)dBu$
*Spannung bezogen auf $0,775 V$*
$\rightarrow0 dBu$ liegt bei $U = 0,775 V$ vor
*Spannung bezogen auf $1 V$*
$\rightarrow0 dBV$ liegt bei $U = 1 V$ vor
*Spannung bezogen auf $1 µV$*
$\rightarrow0 dBuV$ liegt bei $U = 1 µV$ vor
- gegeben: $p = 20 dBW$
- gesucht: $P$
$\begin{split} p &= 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P}{1 W}\right)dBW\\ \Rightarrow P &= 10^{\frac{p}{10}} \cdot 1 W = 10^{\frac{20 dBW}{10}} \cdot 1 W = 10^2 W \end{split}$
$1 W = 1000 mW$ $10 dB = \text{Faktor 10}$ $1000 mW \cdot 10 = 10000 mW = 40 dBm$
- $16 dB = 10 dB + 6 dB = 10 \cdot 4 = 40$
- $1 W \cdot 40 = 40 W$
- gegeben: $u = 120 dBuV/m$
- gesucht: $U$
$\begin{split} u &= 20\cdot \log_{10}\left(\frac{U}{1 µV}\right)dBuV\\ \Rightarrow U &= 10^{\frac{u}{20}} \cdot 1 µV = 10^{\frac{120 dBuV/m}{20}} \cdot 1 µV = 1 V/m \end{split}$
In der Literatur ist oft zu finden: $120 dBuV = 1 V$
Ladung und Energie
Strom über Zeit
$Q = I\cdot t$ in Amperesekunde (As)
Leistung über Zeit
$W = P\cdot t$ in Joule ($\joule$) auf Sekunde bezogen oder Wattstunden ($W\hour$)
- gegeben: $U = 230 V$
- gegeben: $I = 0,63 A$
- gegeben: $t = 7 \hour$
- gesucht: $W$
$$W = P\cdot t = U\cdot I\cdot t = 230 V \cdot 0,63 A \cdot 7 \hour = 1,01 kW\hour$$
- gegeben: $U = 10 V$
- gegeben: $R = 100 Ω$
- gegeben: $t = 1 \hour$
- gesucht: $W$
$\begin{split} W = P\cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t = \frac{(10 V)^2}{100 Ω} \cdot 1 \hour &= 1 W\hour \cdot 3600 s/\hour\\ &= 3600 \joule\end{split}$