EA · Kapitel 8 · Einheit 1

Filter und Schwingkreise I

Folien

EA-8.1.1 zeigt qualitativ, dass der Widerstand eines ohmschen Widerstands unabhängig von der Frequenz ist, während der Widerstand eines Kondensators mit steigender Frequenz hyperbolisch abnimmt und der Widerstand einer Spule mit steigender Frequenz linear zunimmt.

Aus diesen Bauelementen lassen sich sogenannte passive Frequenzfilter aufbauen, die wir uns nun genauer ansehen. Im ersten Teil dieses Kapitels beschäftigen wir uns mit einfachen Filtern, nämlich Hoch- und Tiefpässen. Mit diesen Filtern lassen sich unerwünschte Frequenzbereiche ober- oder unterhalb einer Grenzfrequenz unterdrücken. Im zweiten Teil widmen wir uns anschließend komplexeren Filtern, wie zum Beispiel Bandpässen.

Wir beginnen mit der Herleitung eines Tiefpasses als sogennantes RC-Glied. Ausgangspunkt ist im Schritt (1) die Schaltung eines Spannungsteilers, wie sie in Abbildung EA-8.1.2 dargestellt ist und die wir bereits kennengelernt haben. Wir erinnern uns daran, dass für einen Spannungsteiler folgendes gilt:

$\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}$

Das bedeutet beispielsweise: Ist der Widerstand $R_2$ doppelt so groß wie der Widerstand $R_1$, dann ist auch die Spannung $U_2$ doppelt so groß wie die Spannung $U_1$.

In Schritt (2) ersetzen wir den Widerstand $R_2$ durch den Kondensator $C_1$. Anschließend zeichnen wir die Schaltung in Schritt (3) noch etwas um, sodass wir die übliche Darstellung eines Tiefpasses erhalten.

Wir halten fest: Ein Tiefpass ist zunächst nichts anderes als ein Spannungsteiler. Deshalb können wir ihn im Folgenden auch genau so betrachten. In Abbildung EA-8.1.3 sind die Widerstandsverläufe in Abhängigkeit von der Frequenz nochmals dargestellt. Betrachten wir zunächst tiefe Frequenzen: In diesem Fall ist der Widerstand des Kondensators groß, sodass am Ausgang eine hohe Spannung anliegt. Steigt die Frequenz, wird der Widerstand des Kondensators zunehmend kleiner, und gemäß dem Prinzip des Spannungsteilers nimmt auch die Ausgangsspannung ab.

Auf diese Weise ergibt sich der Spannungsverlauf, wie er in Abbildung EA-8.1.4 gezeigt ist. Damit ist auch die Kernidee des Tiefpasses erklärt: Hohe Frequenzen werden stark gedämpft, während tiefe Frequenzen das Filter weitgehend ungehindert passieren. Ein Anwendungsbeispiel für einen Tiefpass ist die Verwendung hinter Sendeverstärkern, um die durch Verzerrungen auftretenden Oberwellen herauszufiltern.

$Dieser Alt-Text wurde noch nicht überprüft. <ol> <li> Kurzbeschreibung: Diagramm mit einer horizontalen Achse „f“, einer vertikalen Achse „Leistung“, einer vertikalen Linie im rechten Teil der Abbildung und einer Kurve, die von links bis zur vertikalen Linie horizontal verläuft, rechts davon steil nach unten abfällt und bis zum Ende der horizontalen Achse auf der Nulllinie verläuft. </li> <li> Ausführliche Beschreibung: Ein Koordinatensystem hat eine horizontale Achse mit der Beschriftung „f“ und eine vertikale Achse mit der Beschriftung „Leistung“. Im rechten Teil der Abbildung ist eine gestrichelte vertikale Linie eingezeichnet. Eine horizontale Kurve verläuft links bis zur vertikalen Linie und fällt rechts davon steil nach unten ab. Am Ende verläuft sie bis zum Ende der horizontalen Achse auf der Nulllinie."> <figcaption>Abbildung EA-8.1.4: Qualitativer Spannungsverlauf $U_\text{A}$ am Tiefpass</figcaption> </li> </ol> </figure> </aside> <section class=$

Prüfungsfrage ED208

Was stellt die folgende Schaltung dar?

Prüfungsfrage ED201

Wie wird die dargestellte Filtercharakteristik bezeichnet?

Die *Grenzfrequenz* ($f_\text{g}$) eines Tiefpasses ist die Frequenz, bei der das Ausgangssignal gerade beginnt, merklich abgeschwächt zu werden. Sie markiert also den Übergang zwischen dem Frequenzbereich, der vom Filter weitgehend ungehindert durchgelassen wird, und dem Bereich, in dem die Dämpfung deutlich zunimmt. Formal ist die Grenzfrequenz so definiert, dass bei ihr die Ausgangsleistung auf die Hälfte der Eingangsleistung abgefallen ist ($-3 dB$). Da die Leistung proportional zum Quadrat der Spannung ist, entspricht dies einer Abnahme der Ausgangsspannung auf etwa $70 %$ ihres ursprünglichen Wertes ($\frac{1}{\sqrt{2}}$). In der Praxis erkennt man die Grenzfrequenz daher oft an dem Punkt, an dem die Ausgangsspannung deutlich kleiner wird und der Frequenzgang „abzuknicken“ beginnt. Unterhalb der Grenzfrequenz werden tiefe Frequenzen nahezu unverändert übertragen, oberhalb der Grenzfrequenz werden höhere Frequenzen zunehmend gedämpft.

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Bei einem Hochpass hingegen werden die tiefen Frequenzen stark gedämpft, während die hohen Frequenzen dieses Filter kaum gedämpft passieren. Dies erreicht man, in dem man Kondensator und Widerstand tauscht wie in Abbildung EA-8.1.5 dargestellt. Der Frequenzgang eines Hochpasses ist qualitativ in EA-8.1.6 gezeigt. Ein Anwendungsbeispiel für einen Hochpass ist die Verwendung in einer Antennenweiche, um z.B. den Kurzwellenbereich vor einem UKW-Empfänger wegzufiltern, um Störungen durch Kurzwellenbetrieb zu vermeiden.

$Dieser Alt-Text wurde noch nicht überprüft. <ol> <li> Kurzbeschreibung: Diagramm mit einer horizontalen Achse „f“, einer vertikalen Achse „Leistung“, einer vertikalen Linie im linken Teil der Abbildung und einer Kurve, die von links zunächst entlang der Nulllinie verläuft und dann bis zur vertikalen Linie steil ansteigt und rechts der vertikalen Linie bis zum Ende der horizontalen Linie horizontal verläuft. </li> <li> Ausführliche Beschreibung: Ein Koordinatensystem hat eine horizontale Achse mit der Beschriftung „f“ und eine vertikale Achse mit der Beschriftung „Leistung“. Im linken Teil der Abbildung ist eine gestrichelte vertikale Linie eingezeichnet. Eine Kurve verläuft von links zunächst entlang der Nulllinie und steigt dann bis zur vertikalen Linie steil an. Rechts der vertikalen Linie verläuft sie bis zum Ende der horizontalen Achse horizontal."> <figcaption>Abbildung EA-8.1.6: Qualitativer Spannungsverlauf $U_\text{A}$ am Hochpass</figcaption> </li> </ol> </figure> </aside> <section class=$

Prüfungsfrage ED211

Was stellt die folgende Schaltung dar?

Prüfungsfrage ED202

Wie wird die dargestellte Filtercharakteristik bezeichnet?

Einfache RC-Glieder haben den Nachteil, dass ihre Flanken im Grenzbereich eher flach verlaufen. Dazu wird die kleinste Impedanz eines RC-Tiefpasses durch den Widerstand $R$ bestimmt. Der Widerstand $R$ lässt sich jedoch durch eine Spule ersetzen, die sich im Frequenzverhalten einem Kondensator entgegengesetzt verhält. Es liegt daher nahe, Spulen und Kondensatoren zu Hoch- und Tiefpässen zu kombinieren. Bei hohen Frequenzen ist der Spulenwiderstand hoch, der Kondensatorwiderstand dagegen klein. Bei niedrigen Frequenzen ist der Spulenwiderstand niedrig, der Kondensatorwiderstand dagegen groß. Je nachdem, über welches Bauteil die Ausgangsspannung gemessen wird, erhält man einen Hoch- oder einen Tiefpass. Merkt man sich, dass der Spulenwiderstand $X_\text{L}$ bei hoher Frequenz ebenfalls hoch ist, lässt sich eine Schaltung schnell als Hoch- oder Tiefpass identifizieren, wenn man sich anschaut, über welches Bauteil die Ausgangsspannung gemessen wird.

Auch bei Schaltungen mit Kondensator und Spule gilt folgende einfache Regel: Handelt es sich im oberen Zweig des Spannungsteilers um ein aufrechtes *H* – wie in *H*ochpass, so liegt ein Hochpass vor. Befindet sich im oberen Zweig hingegen ein Widerstand oder eine Spule, handelt es sich um einen Tiefpass.

Prüfungsfrage ED209

Was stellt die folgende Schaltung dar?

Prüfungsfrage ED212

Was stellt die folgende Schaltung dar?

In den folgenden Fragen geht es um eine praktische Anwendung unserer Filter. Natürlich können auch mehrere frequenzabhängige Bauteile in einer Schaltung verwendet werden, so dass der Übergang im Bereich der Grenzfrequenz steilflankiger wird. Welche Schaltung in den Folgenden zwei Fragen verwendet werden, solltest Du mit dem genannten Tipp nun leicht erkennen.

Prüfungsfrage ED210

Welche Schaltung könnte für die Tiefpassfilterung in einem Mikrofonverstärker eingesetzt werden?

Prüfungsfrage ED213

Welche Schaltung stellt ein Hochpassfilter dar?

Ein weiteres Praxisbeispiel für eine Verkettung von Spulen und Kondensatoren als Filter, ist der am Rand erklärte Diplexer.

*Praxisbeispiel Diplexer:* Passive Hoch- und Tiefpässe werden auch in Frequenzweichen verwendet. Im untenstehenden Beispiel ist eine Schaltung für einen sog. Diplexer für $2 m$ und $70 cm$ zu sehen. Dieser kann verwendet werden, um z.B. ein $2 m$- und ein $70 cm$-Funkgerät an einer gemeinsamen Duoband-Antenne zu verwenden. Umgekehrt könnte man auch getrennte Antennen für $2 m$ und $70 cm$ an einem UKW-Duoband-Gerät verwenden, um z.B. für $2 m$-Direktfunk einen Rundstrahler und für $70 cm$-Relaisfunk eine Richtantenne zu verwenden. Vor dem $2 m$-Ausgang ist ein Tiefpass, vor dem $70 cm$-Ausgang ein Hochpass zu sehen - jeweils aus 5 frequenzabhängigen Bauteilen kombiniert.

$Dieser Alt-Text wurde noch nicht überprüft. <ol> <li> Zusammenfassung: Langer, schmaler Elektronikaufbau auf grünem Lochrasterboard mit drei ringförmigen Kupferspulen und mehreren kleinen braunen Bauteilen zwischen zwei goldfarbenen Koaxanschlüssen. </li> <li> Detaillierte Beschreibung: Auf einem rechteckigen, grünen Lochrasterboard mit Reihen aus runden Lötaugen sind drei gleichartige, ringförmige Spulen aus lackiertem Kupferdraht auf gelblichen Kernen in einer Linie angeordnet. Dazwischen und daneben sitzen mehrere kleine, braun glänzende, tropfenförmige Bauteile (per Drahtanschluss eingelötet). An beiden Stirnseiten des Boards befinden sich goldfarbene, koaxiale Buchsen/Stecker mit verlöteten Mittelkontakten und seitlichen Lötfahnen zur Masse. Die Lötstellen sind sichtbar, teils mit dunklen Flussmittelspuren. Das Board liegt schräg auf einer grauen, leicht strukturierten Oberfläche; die Beleuchtung kommt von oben links und erzeugt weiche Schatten."> <figcaption>Abbildung EA-8.1.10: Selbstgebautes Tiefpassfilter</figcaption> </li> </ol> </figure> Die oben genannten Filter lassen sich natürlich wunderbar für alle Frequenzbereiche selbst berechnen und bauen. In der Formelsammlung finden sich die benötigten Formeln, wobei es natürlich auch viele Bauvorschläge und Berechnungsprogramme gibt. Die benötigten Spulen lassen sich dazu oft leicht selbst herstellen. Hierfür reicht bei kleinen Spulenwerten ein kleiner Vorrat an $0,8 mm$-Kupferlackdraht für stabile Luftspulen aus. Bei großen Spulenwerten z.B. für die Kurzwellenbereiche kommt man mit $0,2 mm$-Kupferlackdraht und Kernmaterial mit entsprechenden $A_\text{L}$-Werten aus, um sich jederzeit die richtigen Werte selbst herstellen zu können. Die benötigten Größen, Wicklungen usw. bekommt man über Formelsammlung, Bauvorschläge oder Berechnungsprogramme ebenfalls meist leicht heraus. </aside> --- Nun haben wir einfache RC- und LC-Glieder als Hoch- und Tiefpassfilter kennengelernt. Aus Kondensatoren und Spulen lassen sich jedoch noch weitere Filtertypen realisieren, die über reine Hoch- und Tiefpässe hinausgehen. Diese wollen wir uns nun im zweiten Teil genauer ansehen, nämlich die sogenannten Schwingkreise. <aside class=$

EA-8.1.11 dargestellt.

Schaltet man Spule und Kondensator parallel und gibt zum Beispiel einen Rechteckimpuls auf diese Anordnung, gerät diese in Schwingung. Der aufgeladene Kondensator hat nun Energie im elektrischen Feld gespeichert, welches sich jedoch über die Spule abbaut. Durch den Stromfluss durch die Spule baut sich ein magnetisches Feld in ihr auf, was dem Stromfluss erst noch einen Widerstand entgegensetzt. Sobald das Magnetfeld jedoch aufgebaut ist, entlädt sich der Kondensator vollständig. Die Energie ist nun im Magnetfeld der Spule gespeichert. Da der Kondensator sich aber nicht weiter entladen und keinen Stromfluss aufrechterhalten kann, kann das Magnetfeld nicht aufrechterhalten werden. Das Magnetfeld der Spule entlädt sich und erzeugt eine Spannung in umgekehrter Richtung. Diese Spannung lädt den Kondensator nun in umgehrter Richtung auf, bis das Magnetfeld in der Spule abgebaut ist und dem elektrischen Feld im Kondensator keinen Widerstand mehr entgegensetzen kann. Der Vorgang beginnt anschließend erneut.

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Aus diesem Grund spricht man von einem Schwingkreis. Die Frequenz, mit der dieser Schwingkreis schwingt, bezeichnet man als Resonanzfrequenz ($f_0$). Sie ist vergleichbar mit der Resonanzfrequenz einer Stimmgabel, die durch einen Stoß in Schwingung versetzt wird. Im Resonanzfall sind die Widerstände von Spule $X_\text{L}$ und Kondensator $X_\text{C}$ gleich groß. Solche Schwingkreise lassen sich zum einen zur Erzeugung von Schwingungen verwenden, was wir im Kapitel Oszillatoren noch genauer betrachten werden. Zum anderen können sie auch als Filter eingesetzt werden – und genau das ist das Thema dieses Kapitels.

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Bei einem Serienschwingkreis bzw. Reihenschwingkreis wie in Abbildung EA-8.1.11a ist im Resonanzfall der Gesamtwiderstand am geringsten. Abbildung EA-8.1.12 zeigt den Frequenzgang. Bei Frequenzen über der Resonanzfrequenz wird der Spulenwiderstand größer, so dass auch der Gesamtwiderstand des Serienschwingkreises ansteigt. Das Gleiche passiert auch bei Frequenzen unterhalb der Resonanzfrequenz, wobei hier jedoch der Kondensatorwiderstand groß ist. Bei Serienschwingkreisen ist daher der Widerstand bei der Resonanzfrequenz am geringsten. Durch die Serienschaltung bestimmt bei Frequenzen abseits der Resonanzfrequenz das Bauteil mit dem größten Widerstand die Schwingkreisimpedanz.

Der Betragsfrequenzgang eines Serienschwingkreises aus einem Widerstand, einer Spule und einem Kondensator berechnet sich nach folgender Formel:

$Z = \sqrt{R^2+\left(X_\text{L} - X_\text{C}\right)^2}$

Im Resonanzfall wenn $X_\text{C}$ = $X_\text{L}$ gilt bleibt nur der Widerstand $R$ übrig. Im Idealen Fall, wenn der Widerstand $R=0 Ω$ ist der Widerstand sogar null. Wenn wir die Werte für $X_\text{L}$ und $X_\text{C}$ einsetzen erhalten wir:

$Z = \sqrt{R^2+\left(2\pi f \cdot L~-~\frac{1}{2\pi f \cdot C} \right)^2}$

In der Formel kann man den Frequenzgang aus Abbildung EA-8.1.12 sehr schön sehen: Wenn man die Frequenz gegen $0 Hz$ gehen lässt, dann fällt der Anteil der Spule weg und nur der Kondensator wirkt. Lässt man die Frequenz hingegen gegen unendlich gehen, dann wirkt nur die Spule und der Anteil des Kondensators verschwindet.

Man kann die Resonanzfrequenz sogar berechnen. Wenn $X_\text{L} = X_\text{C}$ gilt kann man die Formel nach $f$ auflösen:

$2\pi f \cdot L = \frac{1}{2\pi f \cdot C}$

So ergibt sich die Formel:

$f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{L\cdot C}}$

Die genaue Herleitung der Formeln kann man z. B. auf Wikipedia nachlesen. Es sollte an dieser Stelle erwähnt werden, dass alle Frequenzgänge qualitativ aufgezeichnet sind und in der Realität ggf. etwas anders aussehen.

Prüfungsfrage ED205

Der im folgenden Bild dargestellte Impedanzfrequenzgang ist typisch für ...

Setzt man Kondensator und Spule zu einem Parallelschwingkreis, wie in Abbildung EA-8.1.11b zusammen, verhält es sich dagegen genau andersherum: Der Widerstand $Z$ ist bei der Resonanzfrequenz der sehr hoch, vgl. Abbildung EA-8.1.13. Bei Frequenzen über der Resonanzfrequenz hat der Kondensator jedoch einen niedrigen Widerstand, so dass der Widerstand dieses Schwingkreises abnimmt. Bei Frequenzen unter der Resonanzfrequenz hat dagegen die Spule einen niedrigen Widerstand, so dass auch bei niedrigeren Frequenzen der Widerstand des Schwingkreises abnimmt. Bei Parallelschwingkreisen ist daher der Widerstand bei der Resonanzfrequenz am höchsten. Bei Frequenzen abseits der Resonanzfrequenz bestimmt das Bauteil mit dem geringeren Widerstand die Impedanz des Parallelschwingkreises.

Prüfungsfrage ED206

Der im folgenden Bild dargestellte Impedanzfrequenzgang ist typisch für ...

Prüfungsfrage ED207

Wie verhält sich ein Parallelschwingkreis bei der Resonanzfrequenz?

Je nachdem, wie Parallel- und Serienschwingkreise im Signalweg eingesetzt werden, lassen sich nun Frequenzbereiche entweder bedämpfen oder herausfiltern. Hierzu wollen wir wieder unseren Spannungsteileransatz nutzen.

Beginnen wir zunächst mit den Schaltungen für Bandsperren. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, diese als Spannungsteiler aufzubauen: erstens den Saugkreis (vgl. Abbildung EA-8.1.14) und zweitens den Sperrkreis (vgl. Abbildung EA-8.1.15). In den Abbildungen sind jeweils der frequenzabhängige Widerstand sowie die Ausgangsspannung dargestellt. Mithilfe unserer bekannten Regeln zum Spannungsteiler lassen sich diese Zusammenhänge ganz analog zu den zuvor behandelten RC-Gliedern herleiten und verstehen. Weil die Parallelschwingkreise in Resonanz einen hohen Widerstand haben, lassen sich diese gut als Sperrkreis seriell im Signalweg verwenden. Oder man verwendet den geringen Resonanzwiderstand eines Serienschwingkreises parallel zum Signalweg als Saugkreis. Oft wird aber auch hier beides in Kombination verwendet. Eine Anwendung für Bandsperren ist z.B. die Unterdrückung einzelner Bandbereiche, zum Beispiel wenn ein naheliegender UKW-Radiosender den Empfang stört.

Prüfungsfrage ED204

Wie wird die dargestellte Filtercharakteristik bezeichnet?

Prüfungsfrage ED214

Was stellt die folgende Schaltung dar?

Prüfungsfrage ED215

Was stellt die folgende Schaltung dar?

EA-8.1.16) und zweitens den Bandpass (vgl. Abbildung EA-8.1.17). Auch hier erfolgt die Herleitung wie gewohnt über das Verhalten eines Spannungsteilers. Für einen Bandpass setzt man Parallelschwingkreise parallel zum Signalweg, da diese für Frequenzen abseits der Resonanz einen geringen Widerstand haben und diese sozusagen "kurzschließen". Ein Serienschwingkreis seriell im Signalweg sorgt für eine zusätzliche Dämpfung abseits der Resonanz, während dieser bei der gewünschten Frequenz einen geringen Widerstand hat.

Prüfungsfrage ED203

Wie wird die dargestellte Filtercharakteristik bezeichnet?

Ein naheliegendes Anwendungsbeispiel für Bandpässe ist ihr Einsatz in Empfängern, bei denen eine Vorfilterung bestimmter Frequenzbänder erforderlich ist. In diesem Fall wird ein Filter verwendet, das nur ein gewünschtes Frequenzband passieren lässt, während alle anderen Frequenzen gedämpft werden. Solche Bandpässe finden sich daher in nahezu jedem Empfänger, oft sogar separat für jedes einzelne Kurzwellenband. Für entsprechend hohe Leistungen ausgelegt, werden Bandpässe auch im Sendebetrieb eingesetzt, etwa bei gemeinsamen Contesten oder Fielddays, um gegenseitige Störungen zwischen benachbarten Stationen zu minimieren.

Um Bandpässe und Bandsperren zu bauen, können also sowohl Serien- als auch Parallelschwingkreise verwendet werden. Entscheidend ist, dabei zu beachten, wie sich die jeweiligen Schwingkreise im Resonanzfall verhalten. Entsprechend ihres Verhaltens können diese seriell im oder parallel am Signalweg angebracht sein - ggf. sogar mehrfach miteinander kombiniert.

In Filtern lassen sich als Kondensatoren nur bestimmte, geeignete Typen verwenden. Elektrolytkondensatoren eignen sich für HF-Schaltungen zum Beispiel nicht, da ihre Kapazität zum einen stark frequenzabhängig ist, zum anderen weil sie bei hohen Frequenzen einen hohen Innenwiderstand haben. Folienkondensatoren eignen sich dagegen nicht, weil diese durch ihre Wicklungen (Eigeninduktivität) besonders ab dem Kurzwellenbereich stark frequenzabhängig sind und eine schlechte Güte haben. Keramikkondensatoren haben dagegen nur kleine Verluste und die Kapazität ist nur wenig frequenz- und temperaturabhängig. Zudem sind diese auch für große Spannungen leicht zu beschaffen. Geeignet sind auch Kondensatoren aus Platten und Luft als Isolator, die man am ehesten als Drehkondensatoren antrifft. Für hohe Spannungen werden Drehkondensatoren in Antennentunern ebenfalls eingesetzt.

Prüfungsfrage ED216