E · Kapitel 6 · Einheit 1

Widerstand in Reihen- und Parallelschaltung

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Wir stehen oft vor dem Problem, dass ein gewünschter Widerstandswert nicht in der sogenannten "Widerstands-Normreihe" enthalten ist. Es könnte auch sein, dass ein Widerstand eine große Verlustleistung umsetzen muss, die in handelsüblichen Einzelwiderständen nicht möglich ist -- um nur zwei Beispiele zu nennen. Wir werden jetzt betrachten, wie wir durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung von Widerständen andere Widerstandswerte erhalten können.

Aus dem Ohmschen Gesetz können wir die Regeln von Reihen- und Paralelschaltungen von Widerständen herleiten:

$U=R \cdot I$

E-6.1.1 zeigt zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$, die hinter einander geschaltet werden. Sie vom gleichen Strom *I* durchflossen. An den Widerständen fallen dann die Spannungen

$U_1 = R_1 \cdot I$ und $U_2 = R_2 \cdot I$ ab. Die Gesamtspannung $U_g$ ist einfach die Summe dieser beiden Spannungen:

$U_g = U_1 + U_2 = R_{\mathrm{ges}} \cdot {I} = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I$

Jetzt können wir den Widerstand berechnen, der zwischen den äußeren Klemmen zu sehen ist: $R_{\mathrm{ges}} = \frac{U_g}{I} = R_1 + R_2$, weil sich auf beiden Seiten der Gleichung der Strom $I$ rauskürzt.

Das Ganze funktioniert auch bei mehr als zwei Widerständen, wie in der Formelsammlung dargestellt:

$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + \dots$

Doch wie verhält es sich, wenn wir zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$ parallel schalten wie in Abbildung E-6.1.2 gezeigt?

Jetzt liegt an beiden Widerständen die selbe Spannung $U$ an, die in den Widerständen die Ströme

$I_1 = \frac{U}{R_1}$ und $I_2 = \frac{U}{R_2}$

fließen lässt.

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Prüfungsfrage ED104

Zwei Widerstände mit $R_1 = 100 Ohm$ und $R_2 = 400 Ohm$ sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?

Prüfungsfrage ED105

Zwei Widerstände mit $R_1$ = 50 Ohm und $R_2$ = 200 Ohm sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?

Prüfungsfrage ED106

Drei gleich große parallel geschaltete Widerstände haben einen Gesamtwiderstand von 1,7 kOhm. Welchen Wert hat jeder Einzelwiderstand?

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Einige der Aufgaben enthalten Widerstandsnetzwerke, in denen sowohl eine Reihen- als auch eine Parallelschaltung vorkommt. Da gehen wir so vor, dass wir erst z.B. die Parallelschaltung in einen äquivalenten Widerstand umwandeln, den wir dann mit dem in Reihe geschalteten dritten Widerstand zusammenfassen. Oder halt umgekehrt, je nach dem, was sich anhand des Schaltbildes anbietet.

Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan enthält einen rechteckigen Schaltkreis aus zwei horizontalen Leitern Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links oben und unten. Im oberen horizontalen Zweig gibt es einen Widerstand „R_1“. Im rechten vertikalen Teil liegt ein Widerstand, beschriftet mit „R_2“, und parallel dazu ein dritter Widerstand „R_3“. Ein horizontaler Leiter führt vom unteren Ende der beiden vertikalen Widerstände zum unteren Anschlusspunkt. Es sind keine weiteren Zahlen, Werte oder Textbeschriftungen vorhanden.">

Abbildung E-6.1.3: Beispielschaltung

Ein wichtiges Lösungsverfahren ist die "Methode des scharfen Hinsehens" ... da gibt es zum Beispiel eine Schaltung, die einen Widerstand $R_1$ in Reihe mit zwei parallel geschalteten Widerständen $R_2$ und $R_3$ hat. Die Werte sind $R_1 = 1 kΩ$, $R_2 = 2000 Ω$ und $R_3 = 2 kΩ$. Nun sind aber $2 kΩ = 2000 Ω$. Die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_3$ ergibt einen Widerstand, der halb so groß ist: $1000 Ω = 1 kΩ$. Den schalten wir in Reihe mit $R_1$ und erhalten das Ergebnis: $R_{\mathrm{ges}} = 2 kΩ$.

Prüfungsfrage ED111

Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 1 kOhm, $R_2$ = 2000 Ohm und $R_3$ = 2 kOhm

Prüfungsfrage ED110

Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 1000 Ohm und $R_3$ = 1 kOhm

Prüfungsfrage ED112

Wie groß ist der Gesamtwiderstand dieser Schaltung, wenn $R_1$ = 1 kOhm, $R_2$ = 3 kOhm und $R_3$ = 1500 Ohm betragen?

Prüfungsfrage ED113

Wie groß ist der Gesamtwiderstand dieser Schaltung, wenn $R_1$ = 10 kOhm, $R_2$ = 2,5 kOhm, $R_3$ = 500 Ohm und $R_4$ = 600 Ohm betragen?

Prüfungsfrage ED108

Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 500 Ohm und $R_3$ = 1 kOhm

Prüfungsfrage ED109

Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 1,5 kOhm und $R_3$ = 2 kOhm

Bei Leistungsbetrachtungen geht man am Besten von dem bekannten Ausdruck für die Leistung aus:

$P = U \cdot I$

Bei der Reihenschaltung von z.B. drei gleichen Widerständen fließt durch alle Widerstände der gleiche Strom, aber an jedem einzelnen Widerstand fällt nur ein Drittel der äußeren Spannung ab. Bei der Parallelschaltung liegt an allen Widerständen die selbe Spannung, aber der Strom teil sich auf drei Pfade auf. In beiden Fällen verträgt also die Schaltung das dreifache der Leistung des einzelnen Widerstandes.

Prüfungsfrage ED107

Welche Belastbarkeit kann die Zusammenschaltung von drei gleich großen Widerständen mit einer Einzelbelastbarkeit von je 1 W erreichen, wenn alle 3 Widerstände entweder parallel oder in Reihe geschaltet werden?