In der Klasse E haben wir bereits Spannungsquellen kennen gelernt. Zunächst wollen wir uns mit der Stromquelle beschäftigen, bevor wir den Innenwiderstand von Spannungs- und Stromquellen genauer betrachten.
Ähnlich wie bei der Spannungsquelle, sorgt eine Stromquelle dafür, dass diese möglichst einen konstanten Strom liefert. Abbildung EA-7.2.1 zeigt deren Ersatzschaltbild.
Abbildung EA-7.2.1: Ersatzschaltbild Stromquelle $R_i$ hochohmig
Betrachtung einer Konstantstromquelle am Beispiel eines Labornetzgerätes:
Prüfungsfrage AB201
Welche Eigenschaften sollten Strom- und Spannungsquellen nach Möglichkeit aufweisen?
A
Stromquellen sollten einen möglichst niedrigen Innenwiderstand und Spannungsquellen einen möglichst hohen Innenwiderstand haben.
B
Stromquellen sollten einen möglichst hohen Innenwiderstand und Spannungsquellen einen möglichst niedrigen Innenwiderstand haben.
C
Strom- und Spannungsquellen sollten einen möglichst niedrigen Innenwiderstand haben.
D
Strom- und Spannungsquellen sollten einen möglichst hohen Innenwiderstand haben.
Wird eine reale Spannungsquelle mit $R_L$ belastet, so sinkt die Klemmenspannung $U_k$. Grund dafür ist der vorhandene Innenwiderstand $R_i$ dieser Spannungsquelle. Durch ihn entsteht quasi ein Spannungsteiler. Da die Quellenspannung $U_q$ im Leerlauf, also ohne Belastung $U_q=U_L$ ist, nennt man diese auch Leerlaufspannung.
Mit einem Multimeter ist der Innenwiderstand nicht messbar, man kann ihn aber rechnerisch über das Ohmsche Gesetz ermitteln (vgl. Formelsammlung):
$R_i = \frac{\Delta U}{\Delta I}$
Zur Berechnung werden zwei Belastungsfälle benötigt:
Leerlauf ohne Belastung: $I = 0 A$ und $U_L = U_q$
Belastung mit $R_L$: Wir messen $I_L$ und $U_L$
Über die Spannungsveränderung ($\Delta U = U_q~-U_L$) an den Klemmen und die Laststromveränderung ($\Delta I = I_L-~0 A$), kann der Innenwiderstand nach der obigen Formel berechnet werden.
$R_i = \frac{\Delta U}{\Delta I} = \frac{U_q - U_L}{I_L-0 A} = \frac{U_q - U_L}{I_L}$
Mit diesem Wissen können wir die folgenden Prüfungsfragen beantworten:
Prüfungsfrage AB205
Die Leerlaufspannung einer Spannungsquelle beträgt 5,0 V. Schließt man einen Belastungswiderstand mit 1,2 Ohm an, so geht die Klemmenspannung der Spannungsquelle auf 4,8 V zurück. Wie hoch ist der Innenwiderstand der Spannungsquelle?
Lösung
A
0,17 Ohm
B
0,05 Ohm
C
0,25 Ohm
D
8,2 Ohm
Prüfungsfrage AB206
Die Leerlaufspannung einer Gleichspannungsquelle beträgt 13,5 V. Wenn die Spannungsquelle einen Strom von 0,9 A abgibt, sinkt die Klemmenspannung auf 12,4 V. Wie groß ist der Innenwiderstand der Spannungsquelle?
Lösung
A
15,0 Ohm
B
1,22 Ohm
C
0,99 Ohm
D
0,82 Ohm
Prüfungsfrage AB207
Die Leerlaufspannung einer Gleichspannungsquelle beträgt 13,5 V. Wenn die Spannungsquelle einen Strom von 2 A abgibt, sinkt die Klemmenspannung auf 13 V. Wie groß ist der Innenwiderstand der Spannungsquelle?
Lösung
A
6,75 Ohm
B
1 Ohm
C
0,25 Ohm
D
4 Ohm
Prüfungsfrage AB208
Die Leerlaufspannung einer Gleichspannungsquelle beträgt 13,8 V. Wenn die Spannungsquelle einen Strom von 20 A abgibt, bleibt die Klemmenspannung auf 13,6 V. Wie groß ist der Innenwiderstand der Spannungsquelle?
Lösung
A
0,2 Ohm
B
20 m$\Omega$
C
10 m$\Omega$
D
0,1 Ohm
Wir fassen zusammen:
Spannungsquellen sollen einen sehr niedrigen Innenwiderstand $R_i \ll R_L$ aufweisen, im Idealfall: $0 Ω$, dann bleibt die Ausgangsspannung bei Belastung unverändert. Bleibt die Klemmenspannung bei Belastung konstant, dann spricht man von Spannungsanpassung.
Stromquellen sollen einen sehr hohen Innenwiderstand $R_i \gg R_L$ aufweisen. Idealfall: $\infty Ω$, dann bleibt der Laststrom bei Änderung des Lastwiderstandes konstant, deshalb spricht man auch von Stromanpassung.
Prüfungsfrage AB203
In welchem Zusammenhang müssen der Innenwiderstand $R_{\textrm{i}}$ einer Spannungsquelle und ein direkt daran angeschlossener Lastwiderstand $R_{\textrm{L}}$ stehen, damit Spannungsanpassung vorliegt?
A
$R_{\textrm{L}} \gg R_{\textrm{i}}$
B
$R_{\textrm{L}} = \frac{1}{R_{\textrm{i}}}$
C
$R_{\textrm{L}} = R_{\textrm{i}}$
D
$R_{\textrm{L}} \ll R_{\textrm{i}}$
Prüfungsfrage AB204
In welchem Zusammenhang müssen der Innenwiderstand $R_\textrm{i}$ einer Stromquelle und ein direkt daran angeschlossener Lastwiderstand $R_\textrm{L}$ stehen, damit Stromanpassung vorliegt?
A
$R_{\textrm{L}} \ll R_{\textrm{i}}$
B
$R_{\textrm{L}} = R_{\textrm{i}}$
C
$R_{\textrm{L}} \gg R_{\textrm{i}}$
D
$R_{\textrm{L}} = \dfrac{1}{R_{\textrm{i}}}$
Soll eine Spannungsquelle die maximale Leistung an eine Last abgeben, spricht man von Leistungsanpassung. Dies ist beispielsweise auch bei einem Sender wichtig, der möglichst viel Leistung an eine Antenne übertragen soll.
Die maximale Leistungsübertragung wird erreicht, wenn
$R_i = R_L$
gilt, also Innenwiderstand und Lastwiderstand gleich groß sind.
In diesem Fall verteilt sich die Quellenspannung gleichmäßig auf Innenwiderstand und Last. Dadurch ergibt sich an der Last das maximale Produkt aus Spannung und Strom und somit die größtmögliche Leistung.
Die Abbildung EA-7.2.4 zeigt die normierte Leistung an der Last in Abhängigkeit vom Verhältnis $R_L/R_i$. Das Maximum wird genau bei $R_L/R_i = 1$ erreicht, also dann, wenn Innenwiderstand und Lastwiderstand gleich groß sind. Allerdings beträgt der Wirkungsgrad bei der Leistungsanpassung nur $50 %$, da die gleiche Leistung sowohl an der Last als auch am Innenwiderstand umgesetzt wird.
Abbildung EA-7.2.4: Optimale Leistungsanpassung bei $R_i = R_L$, hier wird der Quotient $\frac{R_L}{R_i}=1$ und damit die maximale Leistung an der Last abgegeben. Der Plot ist logarithmisch.
Abbildung EA-7.2.4: Optimale Ausgangsleistung bei $50 Ω$ Lastwiderstand bei einem Innenwiderstand von $50 Ω$. Der Plot ist nicht logarithmisch.
Wechselspannungsquellen, z.B. Sinusgeneratoren besitzen auch einen Innenwiderstand, der an der Ausgangsbuchse angeben ist.
Koaxialkabel mit einem Wellenwiderstand von etwa $30 Ω$ können besonders hohe Leistungen übertragen, da der Strom im Kabel geringer verteilt wird. Kabel mit etwa $77 Ω$ besitzen dagegen die geringsten Dämpfungsverluste und eignen sich besonders gut für eine verlustarme Signalübertragung.
Der heute weit verbreitete Wert von $50 Ω$ liegt zwischen beiden Optima und stellt einen guten Kompromiss aus hoher Leistungsübertragung, moderaten Verlusten und praktikabler Kabelkonstruktion dar. Deshalb haben sich $50 Ω$ in der Funktechnik als Standard etabliert.
Wird ein Sender, ein Kabel und eine Antenne jeweils auf $50 Ω$ angepasst, dann wird die Leistung optimal übertragen und Reflexionen auf der Leitung werden minimiert.
Abbildung EA-7.2.6: 50 Ohm als Kompromiss zwischen maximaler Leistungsübertragung und minimalen Verlusten in der Hochfrequenztechnik
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Prüfungsfrage AG401
Welche Lastimpedanz ist für eine Leistungsanpassung erforderlich, wenn die Signalquelle eine Ausgangsimpedanz von 50 Ohm hat?
Lösung
A
100 Ohm
B
1/50 Ohm
C
200 Ohm
D
50 Ohm
Prüfungsfrage AB202
In welchem Zusammenhang müssen der Innenwiderstand $R_\textrm{i}$ einer Strom- oder Spannungsquelle und ein direkt daran angeschlossener Lastwiderstand $R_\textrm{L}$ stehen, damit Leistungsanpassung vorliegt?
Lösung
A
$R_\textrm{L} = \dfrac{1}{R_\textrm{i}}$
B
$R_\textrm{L} = R_\textrm{i}$
C
$R_\textrm{L} \gg R_\textrm{i}$
D
$R_\textrm{L} \ll R_\textrm{i}$
