Dezibel II
In der Klasse E haben wir bereits das Dezibel als Werkzeug zum Beschreiben von Verhältnissen kennengelernt und gesehen, dass eine Leistungsänderung von $3 dB$ einem Leistungsfaktor von $\num{2}$ entspricht. In der Formelsammlung finden wir die Tabelle A-2.6.1, welche weitere wichtige Entsprechungen beinhaltet.
Die Formelsammlung gibt für das Umrechnen eines Leistungsverhältnisses in $dB$ folgende Formel an, welche wir auch schonmal in der Klasse E kennen gelernt haben. Das Verhältnis $g$ zweier Leistungen $P_1$ und $P_2$ in $dB$ ist:$g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)dB$
Möchte man aus einem $dB$-Wert einen Verhältnisfaktor ermitteln, so muss die Formel umgestellt werden:
$\begin{align*} g &= 10 \cdot \log_{10}\left( x \right) dB & \quad\quad\quad &|: 10 dB \ \frac{g}{10 dB} &= \log_{10}\left( x \right) &&| \quad 10^{x}\ x &= 10^{\frac{g}{10 dB}} &&~\end{align*}$
Mit diesen beiden Formeln können wir also leicht zwischen $dB$-Angaben und Verhältnisfaktoren umrechnen. Versuche nun die zwei folgenden Fragen zu berechnen:
Einer Leistungsverstärkung von 40 entsprechen ...
Ein HF-Leistungsverstärker hat eine Verstärkung von 16 dB mit maximal 100 W Ausgangsleistung. Welche HF-Ausgangsleistung ist zu erwarten, wenn der Verstärker mit 1 W HF-Eingangsleistung angesteuert wird?
Man kann aber auch Dezibelwerte nutzen, um einen absoluten Pegel anzugeben. Dafür ist allerdings eine feste Bezugsgröße $P_0$ erforderlich:
$p = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right)dB$
Diese Bezugsgröße kann zum Beispiel eine Leistung von $1 mW$ sein. In diesem Fall erhält der Dezibelwert einen entsprechenden Zusatz: Bezieht sich der Pegel auf $1 mW$, spricht man von $dBm$. Dadurch ist eindeutig festgelegt, auf welchen absoluten Leistungswert sich der Dezibelpegel bezieht.
Trifft man beispielsweise auf die Angabe „Der Sender hat eine Ausgangsleistung von $20 dBm$“, lässt sich dieser Wert leicht in Milliwatt umrechnen. Ein Pegel von $20 dB$ entspricht einem Leistungsfaktor von $100$ (also zwei Nullen). Dieser Faktor wird mit der Bezugsgröße von $1 mW$ multipliziert:
$ P = 100 \cdot 1 mW = 100 mW$
In der Tabelle A-2.6.2 sind die wichtigsten Bezugsgrößen und ihre jeweiligen $dB$-Abkürzungen aufgelistet.
Die folgenden Fragen lassen sich mit Hilfe der Formel aus der Formelsammlung und deren Umstellung vom Anfang dieser Lektion berechnen, wenn die richtige Bezugsgröße verwendet wird.Ein Sender mit 1 W Ausgangsleistung ist an eine Endstufe mit einer Verstärkung von 10 dB angeschlossen. Wie groß ist der Ausgangspegel der Endstufe?
Welcher Leistung entsprechen die Pegel 0 dBm, 3 dBm und 20 dBm?
Ein Sender mit 1 W Ausgangsleistung ist an eine Endstufe mit einer Verstärkung von 10 dB angeschlossen. Wie groß ist der Ausgangspegel der Endstufe?
Der Ausgangspegel eines Senders beträgt 20 dBW. Dies entspricht einer Ausgangsleistung von ...
Warum macht man das Ganze überhaupt und gibt absolute Leistungen in $dBm$ und $dBW$ an? Wie bereits in der Klasse E angedeutet, dient die Verwendung von Dezibel vor allem dazu, Rechnungen zu vereinfachen. Durch die Darstellung von Verstärkungen und Dämpfungen in Dezibel lassen sich komplette Signalketten sehr einfach durch Addition und Subtraktion überschlagen, ohne auf umständliche Multiplikationen und Divisionen zurückgreifen zu müssen.
Abbildung A-2.6.3 zeigt eine solche Signalkette mit drei Verstärkerstufen. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $1 mW$, was $0 dBm$ entspricht. Durch die drei Verstärkerstufen wird das Signal insgesamt auf $60 dBm$ verstärkt (also $\num{1000000}\cdot 1 mW$), was einer Leistung von $1000 W$ entspricht.
Abbildung A-2.6.4 zeigt ein weiteres Beispiel einer Signalkette, bei der zusätzlich ein Dämpfungsglied mit einer Dämpfung von $20 dB$ eingesetzt wird, was einer Verstärkung von $-20 dB$ entspricht. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $1 mW$, also $0 dBm$. Durch die erste Verstärkerstufe wird das Signal auf $10 dBm$ angehoben. Anschließend wird es durch das Dämpfungsglied auf $-10 dBm$ abgeschwächt und schließlich durch die zweite Verstärkerstufe wieder auf $0 dBm$ verstärkt, was wiederum $1 mW$ entspricht.
Zusätzlich haben wir in der Klasse E bereits die Zusätze $dBd$ und $dBi$ kennen gelernt, die bei der Angabe von Antennengewinnen verwendet werden. In diesem Fall bezieht sich der Dezibelwert nicht auf eine Leistung oder Spannung, sondern auf einen bestimmten Referenzstrahler. Üblich sind dabei $dBi$, bezogen auf den isotropen Kugelstrahler, sowie $dBd$, bezogen auf den Halbwellendipol.Neben den Leistungsverhältnissen können wir das Dezibel können auch verwenden, um Spannungsverhältnisse und Spannungspegel anzugeben. Dazu können wir die Formel $P = \frac{U^2}{R}$ verwenden. Also können wir schreiben:
$\begin{split}g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\ &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\frac{U_1^2}{\cancel{R}}}{\frac{U_2^2}{\cancel{R}}}\right)\ &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right) \end{split}$
Der Logarithmus einer quadrierten Zahl ist aber gleich zweimal dem Logarithmus der Zahl:$\log_{10}(x^2)=2 \cdot \log_{10}(x)$
Es folgt daraus:
$\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right)\ &= 10 \cdot 2 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \ &= 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \end{split}$
Daher berechnen wir ein Verhältnis $a$ zweier Spannungen $U_1$ und $U_2$, indem wir den Logarithmus des Verhältnisses nicht mit dem Faktor $10$, sondern mit dem Faktor $20$ multiplizieren. Diese Formel finden wir auch in der Formelsammlung.
Einem Spannungsverhältnis von 15 entsprechen ...
$10 µV \rightarrow 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{10 µV}{1 µV}\right)=20 dBuV$
Bei der folgenden Frage ist der Bezugswert $1 µV/m$. Versuche die Aufgabe mit deinem Wissen zu lösen.